PHƯƠNG PHÁP NGOẠI SUY AITKEN

PHƯƠNG PHÁP NGOẠI SUY AITKEN

                Xét phương pháp lặp :

                x = f(x)                                                                                                                                                   (1)

với f(x) thoả mãn điều kiện hội tụ của phép lặp, nghĩa là với mọi xÎ [a, b] ta có:

| f’(x) | £ q < 1                                                                                                                                    (2)

Như vậy :

                x_n+1 = f(x_n)                                                                                                                                                             (3)

                x_n = f(x_n-1)                                                                                                                                                             (4)

Trừ (3) cho (4) và áp dụng định lí Lagrange cho vế phải với c Î [a, b] ta có :

                x_n+1- x_n = f(x_n) - f(x_n-1) = (x_n - x_n-1)f’(c)                                                                             (5)

Vì phép lặp (1) nên :

                | x_n+1- x_n | £ q | x_n - x_n-1 |                                                                                                (6)

b = a_n - pb_-2

Chúng ta nhận thấy rằng a được tính toán xuất phát từ cùng một công thức truy hồi như các hệ số b_k và tương ứng với hệ số b_n-1

                b_n-1 = a_n-1 + sb_n-2 - pb_n-3 = a

Hệ số bn là :

                b_n = a_n + sb_n-1 - pb_n-2 = sb_n-1 + b

và cuối cùng :

                R₁(x) = ax + b = b+_-1(x - s) + b_n

                Ngoài ra các hệ số b_i phụ thuộc vào s và p  và bây giờ chúng ta cần phải tìm các giá trị đặc biệt s^* và p^* để cho b_n-1 và b_n triệt tiêu. Khi đó r₁(x)= 0 và nghiệm của tam thức x² - s^*x + p^*x sẽ là nghiệm của đa thức P_n(x). Ta biết rằng b_n-1 và b_n là hàm của s và p :

                b_n-1 = f(s, p)

                b_n = g(s, p)

Việc tìm s^* và p^* đưa đến việc giải hệ phương trình phi tuyến:

               

Phương trình này có thể giải dễ dàng nhờ phương pháp Newton. Thật vậy với một phương trình phi tuyến ta có công thức lặp:        

x_i+1 = x_i - f(x_i)/f'(x_i)

hay         f'(x_i)(x_i+1 - x_i) = -f(x_i)

Với một hệ có hai phương trình,công thức lặp trở thành:

                J(X_i)(X_i+1 - X_i) = -F(X_i)