TÍNH GIÁ TRỊ CỦA ĐA THỨC(2)

 TÍNH GIÁ TRỊ CỦA ĐA THỨC

< P2> 

Sơ đồ Horner tổng quát: Giả sử chúng ta có đa thức :

P_n(x) = a₀x­­ⁿ  + a₁x­­^{n - 1} + a₂x­­^{n - 2} +....+ a_n                                                                      (1)

Khai triển Taylor của đa thức tại x = x_o có dạng :

     

  (2)

Mặt khác chúng ta có thể biến đổi đa thức về dạng :

            P_n(x) = (x - x_o)P_n-1(x) + P_n(x_o)                                                                        (3)

Trong đó  P_n-1(x) là đa thức bậc n - 1 và có dạng :

            P_n-1 (x) = b_ox­­^n-1  + b_o-1x­­^{n - 2} + b₂x­­^{n - 3} +....+ b_n-1                                                            (4)

Thuật toán để tìm các hệ số nhận được bằng cách so sánh (1) và (3) :

                        b_o = a_o

                        b_i = a_i +  b_i-1x_o

                        b_n = Pn(x_o)

So sánh (2) và (3) ta có :

       

hay :

và khi chia hai vế cho (x - x₀) ta nhận được :

                         

       (5)             

So sánh (4) và (5) ta nhận được kết quả :

                             

Trong đó Pn_-1(x) lại có thể phân tích giống như P_n(x) dạng (3) để tìm ra P_n-1(x_o). Quá trình này được tiếp tục cho đến khi ta tìm hết các hệ số của chuỗi Taylor của P_n(x)

Tổng quát thuật toán thể hiện ở bảng sau:

           P_n(x)        a_o                      a₁         a₂         a₃            ...         a_n-1                   a_n

          x = x_o       0                    b_ox_o     b₁x_o       b₂x_o                       b_n-2x_o               b_n-1x_o

         P+_-1(x)      b_o                         b₁         b₂         b₃           ...         b_n-1                  b_n = P_n(x_o)

Để hiểu rõ hơn chúng ta lấy một ví dụ cụ thể sau: Khai triển đa thức sau tại x₀ = 2

            P(x) = x⁵ - 2x⁴ + x³ -5x + 4

Ta lập bảng tính sau

:

                     2             1          -2         1          0          -5         4

                                    0          2         0          2          4         2         

                        2          1          0         1          2          -1         2 = P(2)/0!

                                    0          2         4          10        24

                    2              1          2         5          12         23 = P'(2)/1!

                                    0         2           8          26

                    2              1          4         13        38 = P"(2)/2!

                                    0          2         12       

                        2          1          6         25 = P"'(2)/3!  

                                    0          2        

                         2         1          8 = P""(2)/4!  

                                    0

                                  1 = P""'(2)/4!

           

Như vậy :

                        P_n(x) = (x - 2)⁵ + 8(x - 2)⁴  + 25(x - 2)³  + 38(x - 2)² + 23(x - 2) + 2

            Chương trình sau dùng để xác định các hệ số của chuỗi Taylor của đa thức P(x) tại x₀ = 2.

Chương trình 1-2

#include <conio.h>

#include <stdio.h>

#define  m  10

void main(void)

  {

     float a[m],b[m],c[m];

     int n,i,j,k;

     float x;

     clrscr();

     printf("Cho bac cua da thuc n = ");

     scanf("%d",&n);

     printf("Cho gia tri x = ");

     scanf("%f",&x);

     printf("Vao cac he so a\n");

     for (k=n;k>=0;k--)

       {

             printf("a[%d] = ",n-k);

             scanf("%f",&a[k]);

       }

     printf("\n");

     b[n] = a[n];

     c[n] = a[n];

     for (k=0;k<=n-1;k++)

       {

              for (i=n-1;i>=k;i--)

                b[i] = b[i+1]*x + a[i];

              c[k] = b[k];

              for (j=n;j>=k+1;j--)

                a[j] = b[j];

       }

     printf("\nSo do Horner tong quat");

     printf("\nKhai trien tai x = %.4f\n",x);

     for (k=n;k>=0;k--)

               printf("%10.4f\t",c[k]);

     getch();

  }