PHƯƠNG PHÁP LẶP ĐƠN

PHƯƠNG PHÁP LẶP ĐƠN

            Giả sử phương trình (1) được đưa về dạng tương đương :

                x = g(x)                                                                                                                                                  2)

từ giá trị xo nào đó gọi là giá trị lặp đầu tiên ta lập dãy xấp xỉ bằng công thức:

                x_n = g(x+_-1)                                                                                            (3)

với n = 1,2,....

Hàm g(x) được gọi là hàm lặp. Nếu dãy x_n ® a khi n ®µ thì ta nói phép lặp (3) hội tụ.

Ta có định lí: Xét phương pháp lặp (3), giả sử :

- [a,b] là khoảng phân li nghiệm a của phương trình (1) tức là của (2)

- mọi x_n tính theo (3) đều thuộc [a, b]

- g(x) có đạo hàm thoả mãn :

                                                                                                                        (4)

trong đó q là một hằng số thì phương pháp lặp (3) hội tụ

Ta có thể minh hoạ phép lặp trên bằng hình vẽ trên.

Cách đưa phương trình  f(x) = 0 về dạng x = g(x) được thực hiện như sau: ta thấy f(x) = 0 có thể biến đổi thành x = x + lf(x) với l ¹ 0. Sau đó đặt x+lf(x) = g(x) sao cho điều kiện (4) được thoả mãn.

                Ví dụ: xét phương trình 

                                x³ + x - 1000 = 0

Sau bước giải sơ bộ ta có nghiệm x₁ Î ( 9,10 )

Nếu đưa phương trình về dạng:

                                x = 1000 - x³ = g(x)

thì dễ thấy | g^'(x) | > 1 trong khoảng ( 9, 10 ) nên không thoả mãn điều kiện (4)

Chúng ta đưa phương trình về dạng

                                               

thì ta thấy điều kiện (4) được thoả mãn.Xây dựng dãy xấp xỉ

                                               

với x_o chọn bất kì trong ( 9, 10 )

                Trên cơ sở phương pháp này chúng ta có các chương trình tính toán sau:

Chương trình giải phương trình exp((1/3)*ln(1000-x)) với số lần lặp cho trước

Chương trình 2-1

//lap don

#include <conio.h>

#include <stdio.h>

#include <math.h>

void main()

  {

                int i,n;

                float x,x0;

                float f(float);

                clrscr();

                printf("Cho so lan lap n = ");

                scanf("%d",&n);

                printf("Cho gia tri ban dau cua nghiem x0 = ");

                scanf("%f",&x0);

                x=x0;

                for (i=1;i<=n;i++)

                  x=f(x);

                printf("Nghiem cua phuong trinh la :%.4f",x);

                getch();

  }

float f(float x)

  {

                float a=exp((1./3.)*log(1000-x));

                return(a);

  }

và chương trình giải bài toán bằng phương pháp lặp với sai số cho trước

Chương trình 2-2

//lap don

#include <conio.h>

#include <stdio.h>

#include <math.h>

void main()

  {

                int i;

                float epsi,x,x0,y;

                float f(float);

                clrscr();

                printf("Cho sai so epsilon = ");

                scanf("%f",&epsi);

                printf("Cho gia tri ban dau cua nghiem x0 = ");

                scanf("%f",&x0);

                x=x0;

                y=f(x);

                if (abs(y-x)>epsi)

                  {

                                x=y;

                                y=f(x);

                  }

                printf("Nghiem cua phuong trinh la %.6f",y);

                getch();

  }

float f(float x)

  {

                float a=exp((1./3.)*log(1000-x));

                return(a);

  }

Cho giá trị đầu xo = 1.Kết quả tính toán x = 9.966555